ich hab ein mega problem!! in mathe müssen wir eine gruppenarbeit machen und haben dafür diese aufgaben bekommen, nur leider weiß keiner aus meiner gruppe, was wir in der 2. aufgabe machen sollen... bitte helft mir!!

also hier ist die Aufgabe:
ein Kreiszylinder aus Holz hat einen Grunkreisradius r und die Höhe h. Aus diesem Stück Holz wird ein Kreiskegel mit dem selben Grundkreisradius und der Höhe 1/2 h herausgebohrt.

1. Berechne für r=20cm und h=80cm das Volumen des verbleibenden Restkörpers (nicht der Kreiskegel, sondern das andere Teil).
dieser Restkörper soll als Gefäß verwendet und deshalb innen lackiert werden. Wie groß ist die zu lackierende Fläche?

2. Auch bei einem anderen Gefäß der bei erstens beschriebenen Art ist der Zylinderradius gleich dem Kegelradius. Die Höhe h des Zylinders ist wieder doppelt so groß wie die Höhe des Kegels. Dieses Gefäß wird innen und außen lackiert. Dabei fällt auf, dass man für den Außenanstrich - einschließlich des Gefäßbodens - viermal so viel Lack braucht, wie für den Innenanstrich.
Bestimme daraus h als Vielfaches von r!

also die erste Aufgabe habt ihr, oder?

2. geht folgendermaßen:

Innenanstrich:
der Innenanstrich braucht Farbe für die Mantelfläche des Kegels.
Mantelfläche = A_M
A_M = PI * r * s
s ist die Sehne für welche gilt:
s = wurzel(r^2 + h^2)
eingesetzt in A_M
A_M = PI * r * wurzel(r^2 + h^2)

Außenanstrich:
Der Körper besteht aus einem Zylinder, bei dem eine Bodenfläche sowie die Mantelfläche angestrichen wird.
Außenanstrich = Mantelfläche + Kreisfläche
Die Mantelfläche ist ein Rechteck, das aus der Höhe h und dem Kreisumfang 2 * PI * r besteht:
Außenanstrich = 2 * PI * r * h + r^2 * PI

nun soll gelten:
Außenanstrich = Innenanstrich * 4
2 * PI * r * h + r^2 * PI = 4 * [PI * r * wurzel(r^2 + h^2)]

Das löst ihr nun nach r auf.

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Du brauchst 2 Gleichungen, weil du auch 2 Variablen hast (r und h)...

Erstmal stellst du folgende auf:

4 * Mantel des Kegels = Grundfläch + Mantel des Zylinders

4 * (pi * Radius * Seitenhöhe) = (pi * Radius²) + (pi * Radius * Seitenhöhe)

Dabei kannst du Seitenhöhe ersetzen, da man mithilfe von Pythagoras ein Rechtwinkliges Dreieck bilden kannst:

WURZEL(Radius² + Höhe²)

Also:

4 * (pi * Radius * Seitenhöhe) = (pi * Radius²) + (pi * Radius * WURZEL(Radius² + Höhe²))

Das ist die erste Formel.

Jetzt die zweite:

Zylinder - Kegel = Restkörper

-> (pi * Radius² * 2*Höhe) - ((pi * Radius² * Höhe)/3)

Da steht ja auch in der Aufgabe, das man h durch ein vielfaches von r ersetzen soll, also löst du die erste Formel nach h auf. Das setzt du dann in die zweite Formel ein. Dann kannst du nach dem Radius auflösen und so....ich hoffe, du weißt wie das Einsetzungsverfahren etc. läuft und kannst mit Gleichungen umgehen...


Kann sein, dass mir Fehler unterlaufen sind, ich bin irgendiwe Müde...

@Gast: nicht ganz

in der Aufgabenstellung steht, dass du h als Vielfaches von r bestimmen sollst. Somit musst du lediglich meine Formel nach r auflösen und dies ist die Lösung der Aufgabe.

Beim Mantel des Zylinders haste auch einen kleine Fehler. Dies ist nicht die Seitenhöhe, sondern die Höhe des Zylinders und diese wird als gegeben vorrausgesetzt. Ebenfalls muss noch eine 2 rein, da der Kreisumfang mit 2 * PI * r berechnet wird und sich die Mantelfläche als Rechteck der Höhe und des Kreisumfangs errechnet.

Und was berechnest du mit deiner zweiten Formel?

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hm, ich hab gestern mal probiert die gleichung, wie ihr gesagt habt, umzustellen. leider kein erfolg. ich habs einfach net auf die reihe gekriegt diese lange gleichung umzustellen...

lala...muss mich mal entschuldigen...kleiner Denkfehler meinerseits (bin in 8 Monaten wohl doch etwas mehr eingerostet als ich dachte). Bei der Mantelfläche muss man die Höhe des Kegels nehmen, nicht die Höhe des Zylinders...klar das das keine Lösung gibt *anKopfhau*

als Formel ergibt sich dann:
2 * PI * r * h + r^2 * PI = 4 * PI * r * wurzel(r^2 + (0.5 h)^2)
PI * r * (2 * h + r) / (4 * PI * r) = 4 * PI * wurzel(r^2 + (0.5 h)^2)
((2 * h + r)^2) / 4^2 = r^2 + 0.25 * h^2
4 * h^2 + 4 * h * r + r^2 = 16 * r^2 + 4 * h^2
0 = 15 * r^2 - 4 * h * r

Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung:
r12 = (4 * h +- wurzel(16 * h^2 - 0)) / 30
r1 = 0 * h
r2 = 4/15 * h

für r=0 und r=4/15 * h ergibt die Gleichung eine Lösung
=> da 0 als Lösung nicht zulässig ist (Radius des Zylinders kann nicht 0 werden), ist nur r=4/15 * h eine Lösung der Aufgabe.

r ist somit 4/15 von h.

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Hi, vielen dank für die schnelle antwort!! ich rechne noch mal nach und hoffe dass die lösung richtig ist!!^^ aber vieln dank. hätt echt nicht gedacht, dass sich jemand die mühe macht die komplexe aufgabe zu lösen!!!

Tja, es soll Leute geben, denen Mathe übelst viel Spaß macht

Wenn du noch mehr Aufgaben hast immer her damit, brauche mal wieder etwas Übung...

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